lunes, 28 de febrero de 2011

Videos de factorizacion de un trinomio

lOS SIGUIENTES VIDEOS SON EJEMPLOS DE FACTORIZACION DE UN TRINOMIO

cocientes notables

Ejemplo de trinomio cuadrado perfecto

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son

cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:

Ambas son respuestas aceptables.

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo termino es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Ejemplos:

FACTOR COMUN

FACTOR COMÚN MONOMIO

ab + ac + ad = a ( b + c + d )
Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un monomio.

Procedimiento para factorizar
1) Se extrae el factor común de cualquier clase, que viene a ser el primer factor.
2) Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor.

1): Factorizar x7 + x3

M.C.D. (1, 1) = 1

Variable común con su menor exponente: x3

Factor común monomio: x3

x7 + x3
Luego se divide --------- = x4 + 1

x3

Entonces: x7+ x3 = x3(x4 + 1)

2): Factorizar a9 + 7a

M.C.D. (1, 5) = 1

Variable común con su menor exponente: a

Factor común monomio: a

a9 + 7a
Luego se divide --------- = a8 + 7

Entonces: a9 + 7a = a(a8 + 7)

3): Factorizar 4a10 + 8a3

M.C.D. (4, 8) = 4

Variable común con su menor exponente: a3

Factor común monomio: 4a3

4a10 + 8a3
Luego se divide ------------ = a7 + 2

4a3

Entonces: 4a10 + 8a3 = 4a3(a7 + 2)

FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

ax + bx + ay + by = (a + b )( x + y )

Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un polinomio.

Procedimiento para factorizar

1) Se trata de agrupar con la finalidad de obtener en primer lugar un factor común monomio y como consecuencia un factor común polinomio.

2) Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor.

1): Factorizar ax + bx + aw + bw

Agrupamos (ax + bx) + (aw + bw)

Factor común en cada binomio: x(a + b) + w(a + b)

Factor común polinomio: (a + b)

x(a + b) + w(a + b)

Luego se divide ----------------------- = x + w

(a + b)

Entonces: ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w)

2): Factorizar 2x2 - 4xy + 4x - 8y

Agrupamos ( 2x2 - 4xy ) + ( 4x - 8y )

Factor común en cada binomio: 2x(x - 2y) + 4(x - 2y)

Factor común polinomio: (x - 2y)

2x(x - 2y) + 4(x - 2y)

Luego se divide -------------------------- = 2x + 4

(x - 2y)

Entonces: 2x2 - 4xy + 4x - 8y = (x - 2y)(2x + 4)

3): Factorizar 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n

Agrupamos ( 2m+n + 2m8m ) + ( 8m+n + 2n8n )

Factor común en cada binomio: 2m( 2n + 8m ) + 8n( 8m + 2n )

Factor común polinomio: ( 2n + 8m )

2m( 2n + 8m ) + 8n( 8m + 2n )

Luego se divide ------------------------------------ = 2m + 8n

( 2n + 8m )

Entonces: 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n = ( 2n + 8m )(2m + 8n)

FACTOR COMÚN POLINOMIO

c(a + b) + d(a + b) + e(a + b) = (a + b)( c + d + e )

Cuando el factor común que aparece es un polinomio.

Procedimiento para factorizar

1) Se extrae el factor común de cualquier clase, que viene a ser el primer factor.

2) Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor.

1): Factorizar a(x + 3) + b(x + 3)

Factor común con su menor exponente: (x + 3)

a(x + 3) + b(x + 3)

Luego se divide ----------------------- = a + b

(x + 3)

Entonces: a(x + 3) + b(x + 3) = (x + 3)(a + b)

2): Factorizar (2a - 3)(y + 1) - y - 1

Arreglando = (2a - 3)(y + 1) - (y + 1)

Factor común con su menor exponente: (y + 1)

(2a - 3)(y + 1) - (y + 1)

Luego se divide ----------------------------- = (2a - 3) - 1 = 2a - 3 - 1 = 2a - 4

(y + 1)

Entonces: (2a - 3)(y + 1) - y - 1 = (y + 1)(2a - 4)

3): Factorizar (a + 1)2(y + 1) - (a + 1)(y + 1)2

Factor común con su menor exponente: (a + 1)(y + 1)

(a + 1)2(y + 1) - (a + 1)(y + 1)2

Luego se divide --------------------------------------- = (a + 1) - (y + 1) = (a + 1 - y - 1) = (a - y)

(a + 1)(y + 1)

Entonces: (a + 1)2(y + 1) - (a + 1)(y + 1)2 = (a + 1)(y + 1)(a - y)

EJERCICIOS	RESPUESTAS
01	xy² - y²	=	y²( x - w )

02	5xy² - 15y	=	5xy( y - 3 )

03	24a³b² - 12a³b³	=	12a³b²( 2 - b )

04	4xy- 8xy² - 12xy³	=	4xy( 1 + 2y - 3y² )

05	16a⁴b⁵- 20a³b² - 24a²b⁶	=	4a²b⁴( 4a²b - 5a + 6b² )

06	x^{a + 2} - 3x^{a + 3} - 5x^a	=	x^a (x² + 3x³ + 5)

07	36x^2ay^b - 24x^{a + 1}y^b+1 + 12x^ay^2b	=	12x^ay^b( 3x^a - 2xy + y^b)

08	^{x(a + 7) - 5(a + 7)}	=	(a + 7)(x - 5)

09	2x(a - 1) - 3y(a - 1)	=	(a - 1)(2x - 3y)

10	x(a + 9) - a - 9	=	(a + 9)(x - 1)

11	- x - y + a(x + y)	=	(x + y)(a - 1)

12	(a + 5)(a + 1) - 2(a + 1)	=	(a + 1)(a + 3)

13	(a + b - 2)(a² + 2) - a² - 2	=	(a² + 2)(a + b - 3)

14	(3x² + 8)(x + y - z) - (3x² + 8) - (x + y - 4)(3x² + 8)	=	(3x² + 8)(3 - z)

15	^{xm - ym + xn - yn}	=	(x - y)(m + n)

16	a²x² - 8bx² + a²y² - 8by²	=	(x²+y²)(a² - 8b)

17	1 + a + 8ab + 8b	=	(a + 1)(8b + 1)

18	6ax - 2by - 2bx - 12a + 6ay + 4b	=	(6a - 2b)(x + y - 2)

19	a²b³ - m⁵+ a²b³x² - m⁵x² - 3a²b³x + 3m⁵x	=	(a²b³ - m⁵)(1- 3x + x²)

20	(x + 3)(x + 2)(x + 5) + (x + 2)(x + 5) + (x + 5)	=	(x + 5)(x + 3)²

miércoles, 16 de febrero de 2011

Ejemplos de trinomios cuadrados perfectos

Ejemplos de Trinomios cuadrados perfectos

x² /4 + xy + y² = ( x/2 + y )² = (x/2 + y) (x/2 + y )

4x² + 12xy + 9y² = ( 2x + 3y )² = (2x + 3y) (2x + 3y )

x² /4 - 2xy + 4y² = ( x/2 - 2y )² = ( x/2 - 2y ) ( x/2 - 2y )

25a² + 30ab + 9b² = ( 5a + 3b )² = ( 5a + 3b ) ( 5a + 3b )

PRODUCTOS NOTABLES

Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebráicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES

( a + b )²

a² + 2ab+b²

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término mas 2 veces el primer término por el segundo mas el cuarado del segundo término.

EJEMPLO:

$(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,$ $(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 \,$ =

EL CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE 2 TÉRMINOS
(a-b)2 = (a-b) (a-b)= a2 -2ab+b2
El cuadrado de la diferencia de 2 términos es igual al cuadrado del primer término menos 2 veces el primer término por el segundo mas el cuadrado del segundo termino.
EJEMPLO: ( 3x - 8y2 )2=9x2-48xy2+ 64y4

CUADRADO DE UN TRINOMIO
(a+b+c)2= a2+b2+c2= 2ab+2ac+2bc.
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

EJEMPLO:
(x² − x + 1)² =
= (x²)² + (−x)² + 1² +2 · x² · (−x) + 2 x² · 1 + 2 · (−x) · 1 =
= x⁴ + x² + 1 − 2x³ + 2x² − 2x =
= x⁴− 2x³ + 3x² − 2x + 1

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA
(x+y).(x-y)= x2-y2
La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

EJEMPLO:
(x+2)(x-2)=x2-y2.

PRODUCTO DE LA FORMA
(x+a) (x+b) = x2+x (a+b)+(a)(b)

EJEMPLO:

(x + 2)(x + 7 )=x² +(2 + 7)x+(2)(7)

CUBO DE UN BINOMIO
El cubo de un binomio es igual a un polinomio de cuatro términos.
Cuando es negativo los signos se invierten.

EJEMPLO:
(a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

PRODUCTO DE LAS EXPRESIONES DE LA FORMA
(a+b)(a2-ab+b)=a3+b3

EJEMPLO:
(m+n) (m2-mn+n2)= m3+n3

Factorizacion de trinomios cuadrados perfectos por adición y sustracción

Se identifica por tener tres sus raíces , el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.

$x^2+xy+y^2=x^2+xy+y^2+(xy-xy)=x^2+2xy+y^2-xy=(x+y)^2-xy\,$ Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el término de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.

Caso especial: factorar una suma de cuadrados, se suma el término que hace falta para formar un trinomio cuadrado perfecto y al mismo tiempo se resta esta misma cantidad, así tendremos un trinomio cuadrado perfecto enseguida una diferencia de cuadrados. videos: EJEMPLO 1:

EJEMPLO 2:

EJEMPLO 3:

CASO 5 ESPECIAL EJEMPLO 1:

CASO 5 ESPECIAL EJEMPLO 2:

CASO 5 ESPECIAL EJEMPLO 3: