Formula de los Cocientes Notables

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma de las cantidades	Cociente de la suma de los cubos de dos cantidades entre la suma de las cantidades
Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades	Cociente de la diferencia de los cubos de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades

TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS

En un trinomio cuadrado perfecto.

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.

1)	Un trinomio ordenado con relación a una letra
2)	Es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados perfectos
3)	El segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Procedimiento para factorizar

1)	Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b.
2)	Se forma un producto de dos factores binomios con la suma de estas raíces; entonces (a + b)(a + b).
3)	Este producto es la expresión factorizada (a + b)2.

Si el ejercicio fuera así:

a2	-	2ab	+	b2	=	(a - b) 2
a				b

Procedimiento para factorizar

1)	Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b.
2)	Se forma un producto de dos factores binomios con la diferencia de estas raíces; entonces
	(a - b)(a - b).
3)	Este producto es la expresión factorizada (a - b)2.

Ejemplo 1: Factorizar x² + 10x + 25
La raíz cuadrada de : x² es x
La raíz cuadrada de : 25 es 5
El doble producto de las raíces: 2(x)(5) es 10x

Luego

x2 + 10x + 25

=

(x + 5)2

Ejemplo 2: Factorizar 49y² + 14y + 1
La raíz cuadrada de : 49y² es 7y
La raíz cuadrada de : 1 es 1
El doble producto de las raíces: 2(7y)(1) es 14y

Luego

49y2 + 14y + 1

=

(7y + 1)2

Ejemplo 3: Factorizar 81z² - 180z + 100
La raíz cuadrada de : 81z² es 9z
La raíz cúbica de : 100 es 10
El doble producto de las raíces: 2(9z)(10) es 180z

Luego

81z2 - 180z + 100

=

(9z - 10)2

		4a8		32a4b
Ejemplo 4:	Factorizar	---	-	------			+	64b2
		49		7

	4a8		2a4
La raíz cuadrada de :	--	es	--
	49		7

La raíz cuadrada de : 64b² es 8b
El doble producto de las raíces: 2(2a⁴ / 7)(8b) es 32a⁴b / 7

		4a8		32a4b					2a4
Luego:	Factorizar	---	-	------- +			64b2	=(	---	-	8b)2
		49		7					7

Cocientes Notables

A aquellos cocientes que sin efectuar la operación de división, pueden ser escritos por simple inspección. Los cocientes notables son cocientes exactos

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA DE LAS CANTIDADES

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.

Ejemplo 1:

a) La raíz cuadrada de x2 es x

b) La raíz cuadrada de 16 es 4

Entonces:

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades.

Ejemplo 1:

a) La raíz cuadrada de x2 es x

b) La raíz cuadrada de 64 es 8

Entonces:

COCIENTE DE LA SUMA DE LOS CUBOS ENTRE LA SUMA DE LAS CANTIDADES

La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el producto de la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidades.

	x3	+	64
Ejemplo 1:	---	--	---	=
	x	+	4

a) La raíz cubica de x3 es x

b) La raíz cubica de 64 es 4

	x3	+	64
Entonces:	---	--	---	=	x2 - (x)(4) + 42	=	x2 - 4x + 16
	x	+	4

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUBOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES

La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

	z3	-	1000
Ejemplo 1:	---	--	------	=
	z	-	10

a) La raíz cubica de z3 es z

b) La raíz cubica de 1000 es 10

	z3	-	1000
Entonces:	---	--	------	=	z2 +(z)(10) +102	=	z2 + 10z+ 100
	z	-	10

EJERCICIOS     PREGUNTAS   RESPUESTAS           PREGUNTAS   RESPUESTAS     a2 - 16               125a3 + 27b3     01   --------- = a - 4       11   ------------ = 25a2 - 15ab + 9b2     a + 4               5a + 3b                                   25x2 - 49y2               x9 + y6     02   --------------- = 5x - 7y       12   ------- = x6 - x3y2 + y4     5x + 7y               x3 + y2                                   4a2 - 16x2y4               27m3 - 1     03   ---------------- = 2a + 4xy2       13   --------- = 9m2 + 3m + 1     2a + 4xy2               3m - 1                                   x2a - y2b               8a12 - 125b15     04   ----------- = xa - yb       14   ------------- = 4a8 + 10a4b5 + 25b10     xa + yb               2a4 - 5b5                                   9 - 36x4               343a3 - 1000b18     05   ----------- = 3 + 6x2       15   -------------- = 49a2 + 70ab6 + 100b12     3 - 6x2               7a - 10b6                                   16x4 - 25y4               729x3y6 - 512z9     06   --------------- = 4x2 + 5y2       16   -------------- = 81x2y4 + 72xy2z3 + 64z6     4x2 - 5y2               9xy2 - 8z3                                   (x + y)2 - 100               (a + b)4 - 49m6     07   ----------------- = (x + y) + 10       17   -------------- = (a + b)2 + 7m3     (x + y) - 10               (a + b)2 - 7m3                                   169 - (a - b)2               x4a+2 - 400     08   ---------------- = 13 + (a - b)       18   -------------- = x2a+1 + 20     13 - (a - b)               x2a+1 - 20                                   1 + x3                     09   -------- = 1 - x + x2                     1 + x                                                   64x3 + 27y3                     10   --------------- = 16x2 - 12xy +9y2                     4x + 3y

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio

Binomio Cuadrado Perfecto

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:

un trinomio de la forma: , se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.

Ejemplo

simplificando:

Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Organizando los términos tenemos

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.